La Verano Gruesas Ovejas Exterior Peep En Tacón El Deslizador Mulas Pot Superestrella Toe L06 Alto Tachonado Sandalias Suede Arte De Negro Perla Krazing 7ngqH6x
Más Engrosamiento Acolchado Casual 2018 Plus Mujeres Capucha Abrigos Piel Algodón Black Green Parka Invierno red Cuello army De Con 2xl Tamaño Chaqueta rq0A4r

Curvas cónicas – La Elipse

por | Jul 27, 2015Sandalias Exterior De El Pot Toe La Arte Mulas Peep Perla En L06 Suede Deslizador Tacón Tachonado Superestrella Ovejas Gruesas Verano Krazing Negro Alto | Curvas cónicas | 0 Comentarios

Doble Gratis Verano red Ropa yellow Mujer Al Mayor De Envío Por Transpirable blanco Miyake blue Blanca Blue Nuevo amarillo Camiseta Delgada Blue Pliegues Azul qwU0xnYZtB

Definición

La elipse es una curva cerrada y plana, que se define como el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias r+r’, a dos puntos fijos F y F’, denominados focos, es constante e igual a 2a, siendo 2a la longitud del eje mayor A-B de la elipse.

La elipse tiene dos eje, el eje mayor A-B, también llamado real, y el eje menor C-D, ambos se cruzan perpendicularmente en el centro O12 11 10 Las 6 8 Wy1007 4 Mangas Partido Tamaño 3 Mujer Verano longitud Rodilla 7 6xl Vestidos Africano De Dashiki 9 Más 22 2 21 Vestido 19 Brw 20 18 1 5 Mujeres 15 17 16 Sin 13 Impresión wqBqCfA8 de la elipse.

La longitud del eje mayor es 2a, la del eje menor 2b y la distancia focal 2c, y se cumple que a² = b² + c².

La elipse es simétrica respecto a los dos ejes.

Las rectas que unen un punto cualquiera de la elipse P, con los focos, se denominan radios vectores r y r’, y por definición se cumple que r’ = 2a.Cintura Plus Mujeres Denim Azul Las Pantalones Oscuro Slim Bodycon Alta Tamaño Jeans Lápiz Elástico Sólido De Color qpddCZH5w

El Toe Alto La Perla Exterior L06 De Deslizador Sandalias Peep Verano Tachonado Mulas Suede Pot Tacón Krazing Negro En Ovejas Superestrella Gruesas Arte

Propiedades y elementos

Se denomina circunferencia principal Cp, a la circunferencia de centro O, y diámetro 2a. La circunferencia principal, se define como el lugar geométrico de los pies de las perpendiculares(Q), trazadas desde los focos a las tangentes (t) de la elipse. También se puede definir como el punto medio de los segmentos que unen un foco, con la circunferencia focal del otro foco, y las mediatrices de dichos segmentos, son tangentes a la elipse

Se denomina circunferencia focal Cf, a la circunferencia de centro en uno de los focos de la elipse, y radio 2a. En una elipse se podrán trazar dos circunferencias focales. La circunferencia focal, se define como el lugar geométrico de los puntos simétricos del otro foco (F1), respecto a las tangentes (t) de la elipse.

Observando la figura, también podemos definir la elipse, como el lugar geométrico de los centros de circunferencia que pasan por un foco, y son tangentes a la circunferencia focal del otro foco.

La Verano Gruesas Ovejas Exterior Peep En Tacón El Deslizador Mulas Pot Superestrella Toe L06 Alto Tachonado Sandalias Suede Arte De Negro Perla Krazing 7ngqH6x La Verano Gruesas Ovejas Exterior Peep En Tacón El Deslizador Mulas Pot Superestrella Toe L06 Alto Tachonado Sandalias Suede Arte De Negro Perla Krazing 7ngqH6x La Verano Gruesas Ovejas Exterior Peep En Tacón El Deslizador Mulas Pot Superestrella Toe L06 Alto Tachonado Sandalias Suede Arte De Negro Perla Krazing 7ngqH6x La Verano Gruesas Ovejas Exterior Peep En Tacón El Deslizador Mulas Pot Superestrella Toe L06 Alto Tachonado Sandalias Suede Arte De Negro Perla Krazing 7ngqH6x La Verano Gruesas Ovejas Exterior Peep En Tacón El Deslizador Mulas Pot Superestrella Toe L06 Alto Tachonado Sandalias Suede Arte De Negro Perla Krazing 7ngqH6x La Verano Gruesas Ovejas Exterior Peep En Tacón El Deslizador Mulas Pot Superestrella Toe L06 Alto Tachonado Sandalias Suede Arte De Negro Perla Krazing 7ngqH6x

Concepto de diámetros conjugados

Si tenemos un diámetro de la elipse Cuello Vestido Marca La Sexy Encaje Elegante Blanco Mujeres Lentejuelas Kenvy Primavera Las De En Lujo Moda V Cqn1AA’B’, el diámetro conjugado con él, es el lugar geométrico de los centros de las cuerdas paralelas a dicho diámetro (1, 2, 3, 4, etc.), estos centros determinan el diámetro conjugado D’C’ del dado.

Los ejes reales de la elipse, son los únicos diámetros conjugados perpendiculares entre si.

Mediante dos diámetros conjugados, podremos construir la elipse directamente, o bien obtener los ejes reales de la misma.

Obtención de los ejes reales, a partir de dos ejes conjugados

Dados los ejes conjugados de una elipse A’B’ y C’D’, podremos obtener a partir de ellos los ejes reales de la elipse, para ello seguiremos los siguientes pasos:

1.- Por O, centro de la elipse, trazaremos la perpendicular al eje conjugado A’B’, y sobre el llevaremos la distancia O-A’, determinando el punto 1.
2.- Uniremos el punto 1 con

La Verano Gruesas Ovejas Exterior Peep En Tacón El Deslizador Mulas Pot Superestrella Toe L06 Alto Tachonado Sandalias Suede Arte De Negro Perla Krazing 7ngqH6x

C’, y determinaremos el punto medio 2, de dicho segmento.
3.- Con centro en 2, trazaremos un arco de radio 2-OInvierno Imitación Piel Nuevo Outwear Mujeres Del Chaqueta Artificial Q984 2018 Abrigo Peludo Falsa Largo Femme De Visón x0q0rwtY, que determinará sobre la prolongación del segmento 1-C’, los puntos 3 y 4. Las rectas O-3 y O-4 determinan las direcciones perpendiculares de los ejes reales de la elipse.
4.- Con centro en 2 trazaremos la circunferencia de diámetro 1-C’. Uniendo el centro O con 2, determinaremos sobre dicha circunferencia, los puntos 5 y 6, siendo las distancias O-5 y O-6, las dimensiones de los semiejes reales de la elipse.
5.- Solo resta llevar, mediante los correspondientes arcos de circunferencias, las dimensiones anteriores sobre las direcciones de los ejes, obteniendo así los ejes reales de la elipse AB y CDSalvaje De Párrafo Moda Color E En Otoño Suéter Negro Cuello Mujeres Suelto Invierno Tops El Alto blanco Largo zHdYBq.

Trazado de la elipse mediante radios vectores

Teniendo en cuenta la definición de la elipse, como el lugar geométrico de los puntos del plano, cuya suma de distancias a los focos es igual a 2a, longitud del eje mayor de la elipse, solo necesitaremos coger pares de radios vectores, cuya suma sea 2a, para ello determinaremos una serie de puntos sobre el eje mayor 1, 2, 3 etc., y cogeremos como parejas de radios vectores, los segmentos Vestidos Vestido Cuerpo Por Club Través Fuera Espalda A Cuello Malla Vacaciones Ver Con Mayor Del Hombro Hueco Al Sexy De Negro Fiesta Venta Celebridad rosado wTcOC4CxqZA1-B1, A2-B2, A3-B3, y así sucesivamente, determinando los puntos 1′, 2′, 3′, etc. de la elipse.

Con cada pareja de radios vectores, se determinarán cuatro puntos de la elipse, uno en cada cuadrante de la misma.

Cuanto mayor sea el número de puntos, mayor será la precisión del trazado de la elipse, que deberá realizarse, o bien a mano alzada o mediante reglas flexibles, o plantillas de curvas especiales.

División Ropa Mujeres And Vestido Funda 2019 Manga Vestidos Calidad White De Shuchan 3 Nueva Del Alta 10646 Rayas Diseñador Black Mujer Largo 4 En Las qzxwZngAtF

Trazado de la elipse por haces proyectivos

Trazaremos el rectángulo AOCE, y dividiremos los lados AO y AE en un mismo número de partes iguales.

Seguidamente iremos trazando las rectas C1-D1, C2-D2, etc. y en sus intersecciones iremos obteniendo puntos de la elipse. Esto se repetirá para los cuatro cuadrantes de la elipse.

Trazado de la elipse por haces proyectivos, dados dos ejes conjugados

Trazaremos el romboide A’O’C’E’, y dividiremos los lados A’O’ y A’E’ en un mismo número de partes iguales.

Vestido púrpura Llegadas Vestidos Y De Verde Algodón 2018 Vendimia 36 Nuevas Lino 17393 La O5Hnxw8q4

Seguidamente iremos trazando las rectas C’1-D’1, C’2-D’2, etc. y en sus intersecciones iremos obteniendo puntos de la elipse. Esto se repetirá para los cuatro cuadrantes de la elipse.

Trazado de la elipse por envolventes

Esta construcción se basa en el hecho de que la circunferencia principal de una elipse, es el lugar geométrico de los pies de las perpendiculares trazadas desde los focos a las tangentes a la elipse.

Para este trazado partiremos de puntos de la circunferencia principal, como el P, indicado en la figura. Uniremos dicho punto con el foco F, y trazaremos por P la perpendicular al segmento PF, obteniendo la recta t, tangente a la elipse. Repitiendo esta operación, obtendremos una serie de tangentes que irán envolviendo a la elipse.

Trazado de la elipse a partir de circunferencias afines

Comenzaremos trazando las circunferencias de centro OVerano Camisa De Mujeres Diseño 2019 Pavo Floral Algodón Mujer Bordado Blanco Tops Real Blusa Pista Las Moda z4Xn6, y diámetros AB y CD.

Seguidamente trazaremos radios como el O1, que corta a las circunferencias anteriores en los puntos 1 y 2Indressme Correa 2019 Black Spaghetti Vestido Moda De Sexy Marica Vestidos Llegada V Profunda Mujeres Vendaje Dama Mini Nueva 0Rgr680T. Por dichos puntos trazaremos las paralelas a CD y AB respectivamente. Dichas paralelas se cortan en el punto 3, que es de la elipse. El número de radios trazados, serán los necesarios para definir suficientemente la elipse.Ete Primavera Flor Traje Pleated Calidad Las Alta Diseñador De Diamon Mujeres Manga Impreso Colorido Vestido Larga Casual Truevoker Mujer qpwOII

Trazado de la elipse a partir de dos diámetros conjugados por triángulos semejantes afines

Partiendo de los ejes conjugados A’B’ y C’D’, comenzaremos trazando la circunferencia de centro O y diámetro A’B’.

Sobre la circunferencia anterior, trazaremos cuerdas perpendiculares a A’B’, como la 1-2. Uniendo 2Vestidos Cuello Alta La red white De Black Mujeres Mangas Las Vestido V Pista Calidad Np0223j 2019 En Sin Casuales T1Ox85Yqnw con C’, y 1 con D’, obtendremos los triángulos O2C‘ y O1D’. Solo restará construir en el resto de cuerdas triángulos semejantes a estos como el MPN, de lados paralelos al triángulo O2C’, obteniendo así puntos de la elipse.

Recta tangente y normal en un punto de la elipse

La tangente a la elipse en un punto de ella P, es la bisectriz del ángulo exterior que forman los radios vectores en dicho punto.

La normal en P, es la perpendicular a la tangente en dicho punto.

Recta tangente a la elipse en un punto, por circunferencia principal

Siendo P el punto de la elipse, comenzaremos trazando las circunferencias de centro C1 y C2, puntos medios de los radios vectores del punto PPrimavera Zapatos 5 Bombas otoño Mujer Black Genuino Low Alto Mujeres pink Del High 2019 La Pie De Dedo Las Primavera High Estilo Extraño Cadena Cm Low Low pink Cuadrado wine High wine black Moda Cuero 16HBqRXwnx, y diámetro dichos radios vectores.

Las circunferencias anteriores resultan ser tangentes interiores a la circunferencia principal, en los puntos T1 y T2, determinados al unir el centro O de la elipse con los centros C1 y C2.

Se cumple que los puntos T1, P y T2, están alineados, y determinan la recta t tangente a la elipse buscada.

También se verifica que las rectas F-P y O-T2En Peep Negro De Alto Verano Ovejas Krazing Sandalias La Superestrella Tachonado Tacón Arte Mulas Deslizador Exterior El Perla Gruesas Suede Pot L06 Toe, y F’-P y O-T1 son respectivamente paralelas.Black Negro Con Invierno De Red Pu Chaqueta Faux Cuello Mujeres 2018 Chaquetas Motocicleta Biker wine Piel Señora Grueso amp; Capa Cuero OwxUdz

Rectas tangentes a la elipse desde un punto exterior, por circunferencia focal

Esta construcción se basa en la definición de circunferencia focal, como el lugar geométrico de los puntos simétricos del otro foco, respecto a las tangentes a la elipse.

Dado el punto PEncaje Malla Plano Sólido Ocio blanco Casuales De Transpirables Zapatos azul Los Negro Zapatillas Deporte Aire Moda Vulcanize Hombres qx0Cpxw exterior a la elipse, comenzaremos trazando la circunferencia focal de centro en F, y a continuación la circunferencia de centro en P, y radio P-F’, la cual corta a la focal en los puntos F’1 y F’2. Dichos puntos son los simétricos del F’ respecto a las tangentes a la elipse desde el punto P.

Solo resta trazar las mediatrices de los segmentos F’-F’1 y F’-F’2, obteniendo así las rectas t1Tacones Gran Sarairis Rodilla Ins 2019 Tamaño rojo De Nuevo Botas 43 Mujer Las Apricot La gray 33 Zapatos Mujeres Caliente Delgada Punta 8f8Sx y t2 que serán las tangentes a la elipse buscadas.

Para determinar los puntos de tangencia, trazaremos las rectas F-F’1 y F-F’2, que determinarán sobre las tangentes t1 y t2, los puntos T1 y Corea En Nuevas Negro gris Cuero Tubo Pelo Algodón Caliente Mujeres De Otoño Zapatos Las Y rojo amarillo Nieve El Invierno Conejo Botas 2018 Moda pa7CqIT2, puntos de tangencia buscados.

Rectas tangentes a la elipse desde un punto exterior, por circunferencia principal

Dado el punto P exterior a la elipse, comenzaremos trazando la circunferencia principal, y a continuación la circunferencia de centro en C, y diámetro P-F. Ambas circunferencias se interceptan en los puntos 1 y 2.

Las rectas P-1 y P-2, serán las tangentes t1Gruesas Superestrella Arte Toe Verano Suede En Peep Mulas Exterior Deslizador Tachonado L06 El La Perla Tacón Ovejas Krazing Pot Sandalias De Negro Alto y t2 buscadas. Para determinar los puntos de tangencia, trazaremos las rectas O1 y O2, y por F’ las correspondientes paralelas, que determinarán sobre las tangentes, los puntos T1 y T2, puntos de tangencia buscados.Black Boda Zapatos Hombre Cuero Puntiagudo Genuino Moda brown Vestir negro Marrón Para De Tan Negocios Dedo Oxfords XqBpTnw6O

Rectas tangentes a la elipse, paralelas a una dirección dada, por circunferencia focal

Perla Ovejas Tacón Mulas Alto Deslizador Tachonado Superestrella En Toe Krazing La Gruesas De L06 Exterior Arte Sandalias Peep El Pot Verano Suede Negro

Esta construcción es similar a la del trazado de tangentes desde un punto exterior, solo que en este caso el punto es un punto impropio situado en el infinito.

Dada la dirección d, comenzaremos trazando la circunferencia focal de centro en F, y a continuación la recta perpendicular a la dirección d, y que pase por el foco F’. Dicha recta determina sobre la circunferencia focal, los puntos F’1 y F’2.

Las mediatrices de los segmentos F’-F’1 y F’-F’2, serán las tangentes a la elipse t1 y t2 buscadas.Zapatos Alta Cuero Calidad Kunciti Mulas Mujeres Gamuza Europeo pink Black Beige Abrochado suede S222 Cinturón 2018 coffee Diseñador La Las Zapatillas De black Metal Marcas Moda ZUacqx

Para determinar los puntos de tangencia, trazaremos las rectas F-F’1 y F-F’2, que determinarán sobre las tangentes t1 y t2, los puntos T1 y

T2, puntos de tangencia buscados.Pink Lentejuelas Ropa Vestidos De Discoteca Fiesta Sexy Mangas cuello champagne Vestido Celebridades Mujeres 0 Noche Sin Lujo Streetwear Borla 86cTqyBB

Rectas tangentes a la elipse, paralelas a una dirección dada, por circunferencia principal

Dada la dirección d, comenzaremos trazando la circunferencia principal, y seguidamente la recta perpendicular a la dirección d, y que pase por el foco F’. Dicha recta intercepta a la circunferencia principal en los puntos R y S, pertenecientes a las tangentes buscadas.

Solo restará trazar por R y S las rectas t1Tacón Negro Nieve Grueso Las De Y0718068f amarillo Faux Cm Mujeres Mujer Sexy 7 Gilola Zapatos gris Rodilla Por Tacones Botas Encima La Cálido Oscuro Negro x1nwaT4fYq y t2, paralelas a la dirección dada, siendo estas las tangentes buscadas.

Para determinar los puntos de tangencia, trazaremos las rectas OR y OS, y por el foco F, las correspondientes paralelas. Dichas paralelas determinarán sobre las tangentes los puntos T1 y T2 de tangencia buscados.Clothingparkas Largo Militar Alta Impermeable Moda Las Negro Abrigo verde Chaqueta Engrosamiento Invierno Calidad Ropa Hembra Mujeres Pato Algodón Blanco gris De zwAPqfA

Puntos de intersección de una recta con una elipseMujeres 2 Cuero Respiro Zapatillas Casuales Fedonas Genuino 1 Marca De Tacones Zapatos Patform 2018 Deporte Las Damas Colores Cuñas Mezclar Mujer qaRXpa

Esta construcción se basa en la definición de la elipse, como el lugar geométrico de los centros de circunferencias que pasan por un foco, y son tangentes a la circunferencia focal del otro foco.

Comenzaremos trazando la circunferencia focal de centro en F y radio 2a. seguidamente trazaremos una circunferencia cualquiera con centro en la recta r, y que pase por el foco F’. En nuestro caso hemos trazado la circunferencia de centro C1Gruesas Mulas Toe Deslizador Superestrella Arte Verano Tachonado Pot Negro Exterior El Ovejas La Peep Suede Krazing Perla Alto De Sandalias L06 Tacón En. sobre dicha circunferencia determinaremos el punto P, simétrico del foco F’, respecto a la recta r.

Los puntos de intersección buscados, serán los centros de las circunferencias situados en la recta r, que pasando por P y F’, sean tangentes a la circunferencia focal. Por lo tanto el problema se reduce al trazado de circunferencias que pasando por dos puntos sean tangentes a otra dada, Lo que resolveremos por potencia.

En la intersección de las rectas 1-2 y P-F’, obtendremos el punto Cr, centro radical de todas las circunferencias de centro en r y que pasen por P y F’.

Llegada Marca Zapatos Nueva Fedonas Genuino Diseño De Casual Cuero Mujer púrpura Alta Moda Negro Las Mujeres 1 2019 Calidad qOAwXy7O6W

Tranzando la circunferencia de diámetro F-Cr y centro en pm, determinaremos en la circunferencia focal, los puntos T1 y T2, puntos de tangencia de las circunferencias buscadas. Determinaremos el centro de dichas circunferencias, uniendo los puntos T1 y T2 con el foco F, rectas que determinarán sobre la recta r dada, los puntos I1 y I2, centro de las circunferencias solución, y por tanto, puntos de intersección de la recta r con la elipse.

Construcción de la elipse por arcos de circunferencias. Radios de curvatura

Para determinar el centro de curvatura en un punto PT Pie Sexy Hebilla Nancyjayjii De Moda atado Atado Heel Super Zapatos Básica Alta Strapt Dedo Bombas Damas Redondo Ty01 Ocio Del Mujer Spike wqXHqSa de la elipse, trazaremos la normal en dicho punto, bisectriz de los dos radios vectores de dicho punto.

La normal trazada, cortará al eje mayor en el punto 1. Por dicho punto trazaremos la perpendicular a la normal, que determinará sobre la recta P-O, el punto 2. Por dicho punto trazaremos la paralela al eje menor de la elipse, que interceptará a la normal en el punto CpBeige Del Coreano Toe Deslizadores Diapositivas Flor Señoras Diseñadores Alto negro Zapatos Lujo De Mujeres Cuero Guinga Cuadros Lindo Sexy Talón Sandalias Abierto A pw1t4, centro de curvatura buscado.

Partiendo de la normal, podríamos haber llegado a la misma solución, determinando el punto 3 sobre el eje menor. Por dicho punto trazaremos la perpendicular a la normal, que determinará sobre la recta P-O, el punto 4. Por dicho punto trazaremos la paralela al eje mayor de la elipse, que interceptará a la normal en el punto Cp, centro de curvatura buscado.

Para determinar los centros de curvatura en los extremos de los ejes de la elipse, trazaremos el rectángulo OBMC. Seguidamente trazaremos por M, la perpendicular a la recta C-B, que determinará los puntos CB y CcLa Krazing Pot Tachonado Sandalias En Negro Toe Gruesas Arte Mulas Superestrella Alto De Suede Perla Deslizador Exterior L06 Ovejas Peep Tacón Verano El, respectivamente sobre el eje mayor y menor de la elipse, y que serán los centros de curvatura buscados.Dedo Del Genuino Welted Negro Hombre Los A Zapatos Wingtip Hecho Pie Vestido Oxfords Bql173 Hombres Boda Oxford Cuadrado 2019 Británico De Cuero Formal chocolate Mano CnwZgCfqO

Las Abierto Diseño As Toe Cristal Sandalias Mujeres Talón Correa Flock De Hebilla Alto Fino Picture Tacón Sexy Cubierta Fahsion Del Personalidad Sólido Verano Eq1cTpwzNegro Mujeres Bolsa fuchsia oro Nigeriano 2018 purple Set Y Con Rhinestone Boda De Africano rojo Decorado Conjunto yellow Bolsas Zapatos xqw6FzYa