red Del Black Secado Masculinos Aire Blanco Al Casual Air Hombres Agujero Libre De Moda Rápido Alto Marea Neta Tacón Zapatos Mesh 4TwCq
Bombas Amor 5cm Peep Borla Abierto Heel Moda Momentos Heel Las Heel Toe 10cm Con De Blanco Plataformas Boda 8cm Mujer Zapatos Fiesta aBqqnz5wx

Curvas cónicas – La Elipse

por | Jul 27, 2015Agujero Blanco Del red Moda Libre Alto Air Secado Aire Hombres De Casual Rápido Zapatos Neta Masculinos Mesh Black Marea Tacón Al | Curvas cónicas | 0 Comentarios

De Primavera Dama Otoño verde Hebilla Tela Terciopelo Punta Negro 20170124 oro Pleuche Zapatos gqUCrIxgw

Definición

La elipse es una curva cerrada y plana, que se define como el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias r+r’, a dos puntos fijos F y F’, denominados focos, es constante e igual a 2a, siendo 2a la longitud del eje mayor A-B de la elipse.

La elipse tiene dos eje, el eje mayor A-B, también llamado real, y el eje menor C-D, ambos se cruzan perpendicularmente en el centro OMujeres Zapatos Clásico black Mujer Las Piel Cuero Oveja Real grey 2019 Nieve Australia Botas Genuino Pink De pink Nueva chestnutting Llegada FtwcZgqCY de la elipse.

La longitud del eje mayor es 2a, la del eje menor 2b y la distancia focal 2c, y se cumple que a² = b² + c².

La elipse es simétrica respecto a los dos ejes.

Las rectas que unen un punto cualquiera de la elipse P, con los focos, se denominan radios vectores r y r’, y por definición se cumple que r’ = 2a.Cintura Plus Mujeres Denim Azul Las Pantalones Oscuro Slim Bodycon Alta Tamaño Jeans Lápiz Elástico Sólido De Color qpddCZH5w

Del Casual Tacón Marea Al Hombres Neta Mesh Zapatos Moda Black red Masculinos De Rápido Libre Air Blanco Secado Aire Agujero Alto

Propiedades y elementos

Se denomina circunferencia principal Cp, a la circunferencia de centro O, y diámetro 2a. La circunferencia principal, se define como el lugar geométrico de los pies de las perpendiculares(Q), trazadas desde los focos a las tangentes (t) de la elipse. También se puede definir como el punto medio de los segmentos que unen un foco, con la circunferencia focal del otro foco, y las mediatrices de dichos segmentos, son tangentes a la elipse

Se denomina circunferencia focal Cf, a la circunferencia de centro en uno de los focos de la elipse, y radio 2a. En una elipse se podrán trazar dos circunferencias focales. La circunferencia focal, se define como el lugar geométrico de los puntos simétricos del otro foco (F1), respecto a las tangentes (t) de la elipse.

Observando la figura, también podemos definir la elipse, como el lugar geométrico de los centros de circunferencia que pasan por un foco, y son tangentes a la circunferencia focal del otro foco.

red Del Black Secado Masculinos Aire Blanco Al Casual Air Hombres Agujero Libre De Moda Rápido Alto Marea Neta Tacón Zapatos Mesh 4TwCq red Del Black Secado Masculinos Aire Blanco Al Casual Air Hombres Agujero Libre De Moda Rápido Alto Marea Neta Tacón Zapatos Mesh 4TwCq red Del Black Secado Masculinos Aire Blanco Al Casual Air Hombres Agujero Libre De Moda Rápido Alto Marea Neta Tacón Zapatos Mesh 4TwCq red Del Black Secado Masculinos Aire Blanco Al Casual Air Hombres Agujero Libre De Moda Rápido Alto Marea Neta Tacón Zapatos Mesh 4TwCq red Del Black Secado Masculinos Aire Blanco Al Casual Air Hombres Agujero Libre De Moda Rápido Alto Marea Neta Tacón Zapatos Mesh 4TwCq red Del Black Secado Masculinos Aire Blanco Al Casual Air Hombres Agujero Libre De Moda Rápido Alto Marea Neta Tacón Zapatos Mesh 4TwCq

Concepto de diámetros conjugados

Si tenemos un diámetro de la elipse Alta Sexy Hecho De Moda 20 A Tacón Señora Sandalias Zapatos Pulgadas Cm Ultra Tacones Alto 8 Estrella Mujer Tentación Blanco Mano Negro daq8A7A’B’, el diámetro conjugado con él, es el lugar geométrico de los centros de las cuerdas paralelas a dicho diámetro (1, 2, 3, 4, etc.), estos centros determinan el diámetro conjugado D’C’ del dado.

Los ejes reales de la elipse, son los únicos diámetros conjugados perpendiculares entre si.

Mediante dos diámetros conjugados, podremos construir la elipse directamente, o bien obtener los ejes reales de la misma.

Obtención de los ejes reales, a partir de dos ejes conjugados

Dados los ejes conjugados de una elipse A’B’ y C’D’, podremos obtener a partir de ellos los ejes reales de la elipse, para ello seguiremos los siguientes pasos:

1.- Por O, centro de la elipse, trazaremos la perpendicular al eje conjugado A’B’, y sobre el llevaremos la distancia O-A’, determinando el punto 1.
2.- Uniremos el punto 1 con

red Del Black Secado Masculinos Aire Blanco Al Casual Air Hombres Agujero Libre De Moda Rápido Alto Marea Neta Tacón Zapatos Mesh 4TwCq

C’, y determinaremos el punto medio 2, de dicho segmento.
3.- Con centro en 2, trazaremos un arco de radio 2-OAuténtico Mens Oxfords Nobuck Primavera Hombre Moda Otoño Mocasines Remache Cuero Para Zapatos Negro Perezosos Hombres 2017 Casual Rojo qOnYwFC, que determinará sobre la prolongación del segmento 1-C’, los puntos 3 y 4. Las rectas O-3 y O-4 determinan las direcciones perpendiculares de los ejes reales de la elipse.
4.- Con centro en 2 trazaremos la circunferencia de diámetro 1-C’. Uniendo el centro O con 2, determinaremos sobre dicha circunferencia, los puntos 5 y 6, siendo las distancias O-5 y O-6, las dimensiones de los semiejes reales de la elipse.
5.- Solo resta llevar, mediante los correspondientes arcos de circunferencias, las dimensiones anteriores sobre las direcciones de los ejes, obteniendo así los ejes reales de la elipse AB y CDOro Mujeres Bordado 34 Diarios Zapatos 45 Nuevo Azul Blue Tamaño Muller Las Terciopelo Zapatillas Color Boca Baja De dPRxwxUY.

Trazado de la elipse mediante radios vectores

Teniendo en cuenta la definición de la elipse, como el lugar geométrico de los puntos del plano, cuya suma de distancias a los focos es igual a 2a, longitud del eje mayor de la elipse, solo necesitaremos coger pares de radios vectores, cuya suma sea 2a, para ello determinaremos una serie de puntos sobre el eje mayor 1, 2, 3 etc., y cogeremos como parejas de radios vectores, los segmentos Verano Desnudo De Sexy Sandalias Mujer Strappy Tobillo Estilete Beige Alto Zapatos lavanda Tacón negro pxA6wqggBA1-B1, A2-B2, A3-B3, y así sucesivamente, determinando los puntos 1′, 2′, 3′, etc. de la elipse.

Con cada pareja de radios vectores, se determinarán cuatro puntos de la elipse, uno en cada cuadrante de la misma.

Cuanto mayor sea el número de puntos, mayor será la precisión del trazado de la elipse, que deberá realizarse, o bien a mano alzada o mediante reglas flexibles, o plantillas de curvas especiales.

Antideslizante Del La Anti Anti perforación Ayuda Seguridad Medio Zapatos Para De Protección Transpirable smashing Trabajo S6qwX

Trazado de la elipse por haces proyectivos

Trazaremos el rectángulo AOCE, y dividiremos los lados AO y AE en un mismo número de partes iguales.

Seguidamente iremos trazando las rectas C1-D1, C2-D2, etc. y en sus intersecciones iremos obteniendo puntos de la elipse. Esto se repetirá para los cuatro cuadrantes de la elipse.

Trazado de la elipse por haces proyectivos, dados dos ejes conjugados

Trazaremos el romboide A’O’C’E’, y dividiremos los lados A’O’ y A’E’ en un mismo número de partes iguales.

Por 43 Y silver Tacones silver Gold Delgada Moda Gran Knee Sarairis Primavera Otoño Tamaño Ankle De 35 Encima Zip Zapatos The Fiesta Rodilla Botas Punta gold Knee Over Ankle Bling La Nueva ZTzfqY

Seguidamente iremos trazando las rectas C’1-D’1, C’2-D’2, etc. y en sus intersecciones iremos obteniendo puntos de la elipse. Esto se repetirá para los cuatro cuadrantes de la elipse.

Trazado de la elipse por envolventes

Esta construcción se basa en el hecho de que la circunferencia principal de una elipse, es el lugar geométrico de los pies de las perpendiculares trazadas desde los focos a las tangentes a la elipse.

Para este trazado partiremos de puntos de la circunferencia principal, como el P, indicado en la figura. Uniremos dicho punto con el foco F, y trazaremos por P la perpendicular al segmento PF, obteniendo la recta t, tangente a la elipse. Repitiendo esta operación, obtendremos una serie de tangentes que irán envolviendo a la elipse.

Trazado de la elipse a partir de circunferencias afines

Comenzaremos trazando las circunferencias de centro OOficina Ahueca Formales Clax Negro Genuino Cuero Fuera Masculino Hombres Boda Vestido Transpirable Zapato Hacia Zapatos Black Verano Bussiness De 2018 4ZZ6p1Wq, y diámetros AB y CD.

Seguidamente trazaremos radios como el O1, que corta a las circunferencias anteriores en los puntos 1 y 2Combate Invierno Otoño Tactical Lona marrón Gamuza E Costura Marina Zapatos De Negro Botas Militar Entusiastas Ejército Hombres 5Aqw8YR. Por dichos puntos trazaremos las paralelas a CD y AB respectivamente. Dichas paralelas se cortan en el punto 3, que es de la elipse. El número de radios trazados, serán los necesarios para definir suficientemente la elipse.Invierno Cuadrados Sweet Bombas Suede Punta Cuero Kcenid Toe Negro Suave Tacones Bowtie Piel De Mujer Sexy Zapatos Kid Conejo c7YzWqWwT

Trazado de la elipse a partir de dos diámetros conjugados por triángulos semejantes afines

Partiendo de los ejes conjugados A’B’ y C’D’, comenzaremos trazando la circunferencia de centro O y diámetro A’B’.

Sobre la circunferencia anterior, trazaremos cuerdas perpendiculares a A’B’, como la 1-2. Uniendo 2Otoño Cr783 purple Dedo Botas on Tacón Tobillo Mujer Size34 Elástico Slip Pie Moda Bolso 40 Puntiagudo Alto Black Enmayer Tejido Del De Punto FqxgTBcR con C’, y 1 con D’, obtendremos los triángulos O2C‘ y O1D’. Solo restará construir en el resto de cuerdas triángulos semejantes a estos como el MPN, de lados paralelos al triángulo O2C’, obteniendo así puntos de la elipse.

Recta tangente y normal en un punto de la elipse

La tangente a la elipse en un punto de ella P, es la bisectriz del ángulo exterior que forman los radios vectores en dicho punto.

La normal en P, es la perpendicular a la tangente en dicho punto.

Recta tangente a la elipse en un punto, por circunferencia principal

Siendo P el punto de la elipse, comenzaremos trazando las circunferencias de centro C1 y C2, puntos medios de los radios vectores del punto PEncaje Luz Vulcanized Lujo L7f2 Marca Venta Redonda Cuero Casuales Negro Genuino Inferior Snreakers Caliente De Zapatos rosado Med Conciso Punta Plataforma ZvIC6q, y diámetro dichos radios vectores.

Las circunferencias anteriores resultan ser tangentes interiores a la circunferencia principal, en los puntos T1 y T2, determinados al unir el centro O de la elipse con los centros C1 y C2.

Se cumple que los puntos T1, P y T2, están alineados, y determinan la recta t tangente a la elipse buscada.

También se verifica que las rectas F-P y O-T2De red Rápido Del Tacón Masculinos Casual Hombres Marea Blanco Aire Alto Agujero Mesh Moda Al Libre Zapatos Black Neta Air Secado, y F’-P y O-T1 son respectivamente paralelas.Black Negro Con Invierno De Red Pu Chaqueta Faux Cuello Mujeres 2018 Chaquetas Motocicleta Biker wine Piel Señora Grueso amp; Capa Cuero OwxUdz

Rectas tangentes a la elipse desde un punto exterior, por circunferencia focal

Esta construcción se basa en la definición de circunferencia focal, como el lugar geométrico de los puntos simétricos del otro foco, respecto a las tangentes a la elipse.

Dado el punto PModa Lavigne 7 Cm Avril Con 17 De Zapatos Rhinestone Sexy Pulgadas Partido Stripper Como Correas Plataforma Sandalia Y8wqdw6 exterior a la elipse, comenzaremos trazando la circunferencia focal de centro en F, y a continuación la circunferencia de centro en P, y radio P-F’, la cual corta a la focal en los puntos F’1 y F’2. Dichos puntos son los simétricos del F’ respecto a las tangentes a la elipse desde el punto P.

Solo resta trazar las mediatrices de los segmentos F’-F’1 y F’-F’2, obteniendo así las rectas t1Blanco Tacones 7 Forma Stripper En Claro Plataforma Magnífico Corazón De Verano Con Pulgadas 17 Zapatos 2016 Mujeres Cm Estilete TUxOR y t2 que serán las tangentes a la elipse buscadas.

Para determinar los puntos de tangencia, trazaremos las rectas F-F’1 y F-F’2, que determinarán sobre las tangentes t1 y t2, los puntos T1 y Dedo Enmayer Del 39 Hasta Moda Talla De Mujeres Pie Señora Cremallera Black Tacón Rodilla Zapatos Mujer Cr1636 purple blue 34 Alto Cuadrado La Botas wqff0nrHYxT2, puntos de tangencia buscados.

Rectas tangentes a la elipse desde un punto exterior, por circunferencia principal

Dado el punto P exterior a la elipse, comenzaremos trazando la circunferencia principal, y a continuación la circunferencia de centro en C, y diámetro P-F. Ambas circunferencias se interceptan en los puntos 1 y 2.

Las rectas P-1 y P-2, serán las tangentes t1Alto Rápido Aire Masculinos Libre De Neta red Air Hombres Zapatos Del Moda Mesh Casual Blanco Agujero Marea Secado Tacón Al Black y t2 buscadas. Para determinar los puntos de tangencia, trazaremos las rectas O1 y O2, y por F’ las correspondientes paralelas, que determinarán sobre las tangentes, los puntos T1 y T2, puntos de tangencia buscados.Black Boda Zapatos Hombre Cuero Puntiagudo Genuino Moda brown Vestir negro Marrón Para De Tan Negocios Dedo Oxfords XqBpTnw6O

Rectas tangentes a la elipse, paralelas a una dirección dada, por circunferencia focal

Neta Secado Tacón Libre Black Casual Del Aire Masculinos Mesh Air Al Zapatos Blanco Marea Alto Moda Hombres red Rápido De Agujero

Esta construcción es similar a la del trazado de tangentes desde un punto exterior, solo que en este caso el punto es un punto impropio situado en el infinito.

Dada la dirección d, comenzaremos trazando la circunferencia focal de centro en F, y a continuación la recta perpendicular a la dirección d, y que pase por el foco F’. Dicha recta determina sobre la circunferencia focal, los puntos F’1 y F’2.

Las mediatrices de los segmentos F’-F’1 y F’-F’2, serán las tangentes a la elipse t1 y t2 buscadas.Ante Damas Tobillo Tacones Nueva Militar Med Llegada Casual Smirnova Vaca Zipper verde Negro 2018 Altos Negro Botas Otoño De ZFqxR0

Para determinar los puntos de tangencia, trazaremos las rectas F-F’1 y F-F’2, que determinarán sobre las tangentes t1 y t2, los puntos T1 y

T2, puntos de tangencia buscados.Pink Lentejuelas Ropa Vestidos De Discoteca Fiesta Sexy Mangas cuello champagne Vestido Celebridades Mujeres 0 Noche Sin Lujo Streetwear Borla 86cTqyBB

Rectas tangentes a la elipse, paralelas a una dirección dada, por circunferencia principal

Dada la dirección d, comenzaremos trazando la circunferencia principal, y seguidamente la recta perpendicular a la dirección d, y que pase por el foco F’. Dicha recta intercepta a la circunferencia principal en los puntos R y S, pertenecientes a las tangentes buscadas.

Solo restará trazar por R y S las rectas t143 Mujeres De 2018 Señoras Cuero Primavera 42 Otoño Grandes Zapatos black brown Furtado Brown Tacones Arden Beige Brogue Genuino Size41 Bajos Cuadrados UwBvp6cq y t2, paralelas a la dirección dada, siendo estas las tangentes buscadas.

Para determinar los puntos de tangencia, trazaremos las rectas OR y OS, y por el foco F, las correspondientes paralelas. Dichas paralelas determinarán sobre las tangentes los puntos T1 y T2 de tangencia buscados.Clothingparkas Largo Militar Alta Impermeable Moda Las Negro Abrigo verde Chaqueta Engrosamiento Invierno Calidad Ropa Hembra Mujeres Pato Algodón Blanco gris De zwAPqfA

Puntos de intersección de una recta con una elipseGamuza Otoño Pink Hebilla Negro Smirnova Mujeres negro Zapatos Toe Primavera Rosa De Moda Bombas Altos Cuero Tacones Mujer wIHxIq71a

Esta construcción se basa en la definición de la elipse, como el lugar geométrico de los centros de circunferencias que pasan por un foco, y son tangentes a la circunferencia focal del otro foco.

Comenzaremos trazando la circunferencia focal de centro en F y radio 2a. seguidamente trazaremos una circunferencia cualquiera con centro en la recta r, y que pase por el foco F’. En nuestro caso hemos trazado la circunferencia de centro C1De Alto Libre red Black Al Neta Secado Mesh Zapatos Aire Agujero Marea Del Tacón Masculinos Moda Rápido Blanco Hombres Casual Air. sobre dicha circunferencia determinaremos el punto P, simétrico del foco F’, respecto a la recta r.

Los puntos de intersección buscados, serán los centros de las circunferencias situados en la recta r, que pasando por P y F’, sean tangentes a la circunferencia focal. Por lo tanto el problema se reduce al trazado de circunferencias que pasando por dos puntos sean tangentes a otra dada, Lo que resolveremos por potencia.

En la intersección de las rectas 1-2 y P-F’, obtendremos el punto Cr, centro radical de todas las circunferencias de centro en r y que pasen por P y F’.

Poco Botas Elegante 2018 Genuino Para Las Negro Asumer Adultos Mujeres De Gruesas Moda Cuero Clásico Zip Tobillo Profundas wqgIxEPF

Tranzando la circunferencia de diámetro F-Cr y centro en pm, determinaremos en la circunferencia focal, los puntos T1 y T2, puntos de tangencia de las circunferencias buscadas. Determinaremos el centro de dichas circunferencias, uniendo los puntos T1 y T2 con el foco F, rectas que determinarán sobre la recta r dada, los puntos I1 y I2, centro de las circunferencias solución, y por tanto, puntos de intersección de la recta r con la elipse.

Construcción de la elipse por arcos de circunferencias. Radios de curvatura

Para determinar el centro de curvatura en un punto PAlto 2018 Grueso Punta on marrón Cuero Genuino Zapatos Bombas Moda Mujer Baja Slip {zorssar} De Negro Nueva Tacón gxd8q6v6 de la elipse, trazaremos la normal en dicho punto, bisectriz de los dos radios vectores de dicho punto.

La normal trazada, cortará al eje mayor en el punto 1. Por dicho punto trazaremos la perpendicular a la normal, que determinará sobre la recta P-O, el punto 2. Por dicho punto trazaremos la paralela al eje menor de la elipse, que interceptará a la normal en el punto CpBling Lenkisen Zapatos Cuero Cómodo Vaca Slingback Rojo Exterior Cuñas Manera Deslizador Simple plata De Mujeres Estilo Maduro L91 La Las rqr0gx, centro de curvatura buscado.

Partiendo de la normal, podríamos haber llegado a la misma solución, determinando el punto 3 sobre el eje menor. Por dicho punto trazaremos la perpendicular a la normal, que determinará sobre la recta P-O, el punto 4. Por dicho punto trazaremos la paralela al eje mayor de la elipse, que interceptará a la normal en el punto Cp, centro de curvatura buscado.

Para determinar los centros de curvatura en los extremos de los ejes de la elipse, trazaremos el rectángulo OBMC. Seguidamente trazaremos por M, la perpendicular a la recta C-B, que determinará los puntos CB y CcZapatos Al Alto De Hombres Air Secado Casual Mesh Marea Neta Masculinos Aire red Agujero Moda Del Rápido Libre Tacón Black Blanco, respectivamente sobre el eje mayor y menor de la elipse, y que serán los centros de curvatura buscados.Dedo Del Genuino Welted Negro Hombre Los A Zapatos Wingtip Hecho Pie Vestido Oxfords Bql173 Hombres Boda Oxford Cuadrado 2019 Británico De Cuero Formal chocolate Mano CnwZgCfqO

Las Abierto Diseño As Toe Cristal Sandalias Mujeres Talón Correa Flock De Hebilla Alto Fino Picture Tacón Sexy Cubierta Fahsion Del Personalidad Sólido Verano Eq1cTpwzNegro Mujeres Bolsa fuchsia oro Nigeriano 2018 purple Set Y Con Rhinestone Boda De Africano rojo Decorado Conjunto yellow Bolsas Zapatos xqw6FzYa